.2傅里叶级数

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重要概念、定理、公式、结论

1.　傅里叶系数与傅里叶级数:

f（x）~a02+∑∞n=1（ansinnx）

an=1π∫π-πf（x）=0，1，2…

bn=1π∫π-πf（x）sinnxdxn=1，2…

2.　狄利克雷收敛定理

设

f（x）

在

[-π，π]

上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则

f（x）

的傅里叶级数在

[-π，π]

上处处收敛，且收敛于

1）　f（x），当x为f（x）的连续点.

2）　f（x-0）+f（x+0）2，当x为f（x）的间断点.

3）　f（-π+0）+f（π-0）2，当x=±π

3.　周期为2π的函数的展开.

（1）　[-π，π]上展开.

an=1π∫π-πf（x）=0，1，2…

bn=1π∫π-πf（x）sinnxdxn=1，2…

（2）　[-π，π]上奇偶函数的展开.

1）　f（x）为奇函数.

an=0，bn=2π∫π0f（x）sinnxdxn=1，2…

2）　f（x）为偶函数.

an=2π∫π0f（x）=0n=1，2…

（3）　在[0，π]上展为正弦或展为余弦.

1）　展为正弦.

an=0，bn=2π∫π0f（x）sinnxdxn=1，2…

2）　展为余弦.

an=2π∫π0f（x）=0n=1，2…

4.　周期为2l的函数的展开.

（1）　[-l，l]上展开.

an=1l∫l-lf（x）=0，1，2…

bn=1l∫l-lf（x）sinnπxldxn=1，2…

（2）　[-l，l]上奇偶函数的展开.

1）　f（x）为奇函数.

an=0，bn=2l∫l0f（x）sinnπxldxn=1，2…

2）　f（x）为偶函数.

an=2l∫l0f（x）πxldxbn=0n=1，2…

（3）　在[0，l]上展为正弦或展为余弦.

1）　展为正弦.

an=0，bn=2l∫l0f（x）sinnπxldxn=1，2…

2）　展为余弦.

an=2l∫l0f（x）πxldxbn=0n=0，1，2…

强化突破题型

【题型六】有关狄利克雷收敛定理的问题

【方法点拨】关键是分清x为哪一类点.

【例30】函数f（x）=-1，-π

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